关于梅森数的性质

jm139

当梅森数2^p-1是合数时，它的因数可以写成2pk+1的形式，请问如何证明？谢谢！

fwjmath

正确的说应该是：
设p是奇质数，若2^p-1为合数，则它的质因子必有形式2pk+1，其中k为整数。
证明：
设q为2^p-1的一个质因子，则2^p=1 (mod q)。由费马小定理知2^(q-1)=1 (mod q)。
假设p不整除q-1，则二者必定互质，由Bezout等式知存在整数x,y满足(q-1)x-yp=1。
取2的幂次，得：
2^((q-1)x-yp)=2
上式对q取模，并注意到开头的两个同余式，得：
1=2 (mod q)
矛盾。
故p整除q-1，又因为p,q均为奇质数，所以q有形式2pk+1。

jm139

非常感谢！