计算巧合（归一步数记录与步恰差记录比较）

laodiao8014

       曾经在本站阅读过《关于3x+1问题》，其中有个归一步数记录，近些时候用一个叫“恰小维”的概念计算步恰差记录，两个记录非常相似，有点意思，特来和有兴趣的算友讨论一下！
具体内容如下：
      归一步数记录和步恰差记录比较
一、奇数的步数定义：
定义1、设有正奇数x(0)， x(0)不等于1 ，由x(0)出发计算的3x+1问题正奇数叙列为 x(0)，x(1) ，x(2) ，……，x(k)，……，x(n-1)，x(n) ， （k,n为正整数 , 1 <= k <= n ） ， 以x(n)为出发点，定义 x(0)、x(1) 、x(2) 、……、x(n-1)、x(n)的步数（用“bu(x(n))”表示 ， bu(x(n)) = 1 ， bu(x(n-1)) = 2 ，…… ，bu(x(k)) =  n-k+1 ，…… ，
bu(x(2)) = n-2+1 ， bu(x(1)) = n-1+1  ，bu(x(0)) = n-0+1 ，
举例：设x(0) = 7 ，
则3x+1问题正奇数叙列为：7 ，11，17，13，5，1 ，
以1为出发点 ， 有bu(1) = 1 ， bu(5) = 2 ，bu(13 )= 3 ， bu(17) = 4  ， bu(11) = 5  ， bu(7) = 6 ，
二、恰小维简单定义
   以7为例，用3x+1问题运算规则可得等式组（1）
     3*7+1 = 2^1*11
     3*11 +1 = 2^1*17
     等式组（1）右边的2的指数分别为“1，1”，用(1 , 1)表示，
     再列一个等式组（2）
     3*15 +1 = 2^1*23
     3*23 +1 = 2^1*35
等式组（2）右边的2的指数也是“1，1”，用(1 , 1)表示，
     再列一个等式组（3）
3*31 + 1 = 2^1*47
3*47 +1 = 2^1*71
等式组（3）右边的2的指数还是“1，1”，用(1 , 1)表示，
7、15、31所在等式组右边2的指数均为(1 , 1)，因为指数有2个，称为2维指数，7在这几个正奇数中最小，且7是能列出这种右边2的指数为(1 , 1)等式组最小的正奇数，(1 , 1)是2维的，这是7的一种性质（称为恰小维），记7的恰小维为2，写为qxw(7) = 2 ,
一般情况，
在方程组 （4）
         3*x(1)+1 = 2^m(1)*x(2)
         3*x(2)+1 = 2^m(2)*x(3)
         3*x(3)+1 = 2^m(3)*x(4)
            ……
         3*x(n)+1 = 2^m(n)*x(n+1)
中，n 是自然数，x(1)、x(2)、……、x(n+1)均为正奇数，m(1),m(2),……,m(n)均为正整数。
右边2的指数为( m(1),m(2),……,m(n) )，是一个n维数组，
恰小维定义：在方程组（4）这种形式的前提下，若x(1)是能列出这种右边2的指数为( m(1),m(2),……,m(n) )方程组最小的正奇数，称x(1)的恰小维为n，记为qxw(x(1)) = n ,
“恰小维”详细定义请参考“财喜猫的博客”，网址是：http://blog.sina.com.cn/s/articlelist_1348843423_0_1.html
恰小维计算例子：
qxw(3)=1，qxw(1)=1 ， qxw(5)=1 ，qxw(9) = 2，  qxw(11)=2 ，qxw(19)=2 ， qxw(15)=3 ， qxw(27)=3 ，qxw(55) = 3 ， qxw(87) = 3 ，

三、步数、恰小维计算举例
定义了正奇数的步数、恰小维，可以计算一下，下面是一些计算结果，
奇数 7 ：bu( 7 ) =  6   ,   qxw( 7 ) =  2
奇数 11 :  bu( 11 ) =  5 ,    qxw( 11 ) =  2  
奇数 17 :  bu( 17 ) = 4 ,  qxw( 17 ) =  2
奇数 13 :  bu( 13 ) =  3 ,   qxw( 13 ) =  1
奇数 5 ： bu(5)= 2 ，qxw(5) = 1
奇数 21 :  bu( 21 ) =  2 ,  qxw( 21 ) =  1
奇数 85 :  bu( 85 ) =  2 ,  qxw( 85 ) =  1
奇数 3 :  bu( 3 ) = 3 ,   qxw( 3 ) = 1
奇数 13 :  bu( 13 ) = 3 ,   qxw( 13 ) = 1
奇数 53 :  bu( 53 ) = 3 ,  qxw( 53 ) = 1
奇数 113 :  bu( 113 ) =  3 ,    qxw( 113 ) =  2
奇数227 ：bu( 227 ) =  3 ,   qxw( 227 ) =  2
奇数27 ：bu( 27 ) = 42 ,  qxw( 27 ) =  3
……
四、步恰差
   定义2：正奇数x(n)的步数为bu(x(n)) ，恰小维为qxw(x(n)) ， 则定义正奇数x(n)的步恰差为bqc(x(n)) = bu(x(n)) - qxw(x(n)) 。
例：bu( 1 ) = 1  , qxw( 1 ) = 1  , bqc(1) = 1-1= 0 ,
bu( 3 ) =  3  , qxw( 3 ) = 1  , bqc(3) =2
bu( 5 ) =  2  , qxw( 5 ) = 1 ,  bqc(5) = 1
bu( 7 ) =  6  , qxw( 7 ) = 2  , bqc(7)= 4
bu( 9 ) =  7  , qxw( 9 ) = 2 ,  bqc(9)= 5
bu( 11 ) = 5 ,  qxw( 11 ) = 2 ,  bqc(11) = 3
bu( 13 ) = 3  , qxw( 13 ) = 1 , bqc(13) = 2
bu( 15 ) = 6  , qxw( 15 ) = 3 ,  bqc(15) = 3
bu( 17 ) = 4  , qxw( 17 ) = 2  , bqc(17) = 2
bu( 19 ) = 7 , qxw( 19 ) = 2  , bqc(19)= 5
bu( 21 ) = 2 , qxw( 21 ) = 1   , bqc(21) = 1
bu( 23 ) = 5 , qxw( 23 ) = 3 ,  bqc(23) = 2
bu( 25 ) = 8  , qxw( 25 ) = 3 , bqc(25) = 5
bu( 27 ) = 42  , qxw( 27 ) = 3  , bqc(27)= 39
bu( 29 ) =  6  , qxw( 29 ) = 2 , bqc(29) = 4
……
五、步恰差记录
定义3： 设有正奇数序列：1 , 3 , …… , k , …… , r ,  ……
步恰差分别为bqc(1) ，bqc(3) ，…… ，bqc(k) ， ……bqc(r) ， ……
这里正奇数k < r ，对于一个正奇数r，如果任意k < r，均有bqc(k)  <= bqc(r) ，则称bqc(r)是一个步恰差记录，
观察第三段计算，
bqc(3) =2 ， bqc(7)= 4 ，bqc(9)= 5 ，bqc(19)= 5 ，bqc(25) = 5 ，bqc(27)= 39 ，均是步恰差记录。
编程计算，从1开始，步恰差记录数为：
3 ，7 ， 9 ， 19 ， 25 ， 27 ，55， 73 ，97 ，129 ， 171 ， 235 ， 313 ， 327 ， 655 ， 703 ， 871 ， 1161 ，1665 ， 2223 ， 2323 ， 2463 ， 2919 ，3711 ，6171 ， 10971 ，13255 ， 17673 ， 26623 ， 34239 ，35497 ， 35655 ，52527 ， 77031 ， 142587 ， 156159 ， 216367 ，230631 ， 410011 ， 511935 ， 626331 ， 837799 ， 1117065 ，1126015 ， 1501353 ， 1564063 ， 1723519 ，2298025 ， 3064033 ， 3542887 ， 3732423 ， 5649499 ， 6649279 ， 8400511 ， 11200681 ， 14934241 ， 15733191 ， 31466383 ， 36791535 ， 55187303 ， 63728127 ， 127456255 ， 169941673 ， 226588897 ， 268549803，……
注：一共算出了65个步恰差记录 ，手头的计算机记算能力有限 ，算到268549803暂时算不动了，后面的省略号表示现在算不出来的。
这些数字我看着很是眼熟！好象和归一步数记录大致相同！

六、与归一步数记录的比较
曾经在本站浏览过《关于3x+1问题》网页，网址是：https://www.equn.com/3x+1/，
其中有一段内容是 ：
归一步数(Delay)
对于所有的正整数 N 令 k 为满足 Sk = 1 的最小下标.
我们称 k 为 N 的归一步数(Delay), 并记作 D(N).
归一步数记录(Delay Record)
一个正整数 N 被称为归一步数记录(Delay Record)
当且仅当对于所有正整数 M < N 均有 D(M) < D(N).
为了寻找归一步数记录, 人们已经进行了大量的计算.
所有已知的归一步数记录都在归一步数记录表中给出了.
好了，数据就在归一步数记录表中。
现在把归一步数记录表中的数字拿出来并和步恰差比较：
归一步数记录1# ：2 ，步恰差没有偶数，但2+1 = 3是一个步恰差，
归一步数记录2#：3 ，3是一个步恰差记录，
归一步数记录3#：6 ，6+1=7是一个步恰差记录，
归一步数记录4#：7 ，7是一个步恰差记录，
归一步数记录5#：9 ， 9是一个步恰差记录，
归一步数记录6#：18 ，18+1=19是一个步恰差记录，
归一步数记录7#：25 ，25是一个步恰差记录，
归一步数记录8#：27 ， 27是一个步恰差记录，
归一步数记录9#：54 ， 54+1=55是一个步恰差记录，
归一步数记录10#：73 ， 73是一个步恰差记录，
归一步数记录11#：97 ，97是一个步恰差记录，
归一步数记录12#：129 ，129是一个步恰差记录，
归一步数记录13# ：171 ， 171是一个步恰差记录，
归一步数记录14#： 231 ，无对应步恰差记录，
235不是归一步数记录， 235是一个步恰差记录，
归一步数记录15#：313 ，313是一个步恰差记录，
归一步数记录16#： 327 ，327是一个步恰差记录，
归一步数记录17#：649 ， 无对应步恰差记），
655不是归一步数记录， 655是一个步恰差记录，
归一步数记录18#：703 ，703是一个步恰差记录，
归一步数记录19#：871 ， 871是一个步恰差记录，
归一步数记录20#：1161 ， 1161是一个步恰差记录，
1665不是归一步数记录，1665是一个步恰差记录，
归一步数记录21#：2223 ， 2223是一个步恰差记录，
2323不是归一步数记录， 2323是一个步恰差记录，
归一步数记录22#：2463 ， 2463是一个步恰差记录，
归一步数记录23#：2919 ，2919是一个步恰差记录，
归一步数记录24#：3711 ， 3711是一个步恰差记录，
归一步数记录25# ：6171 ， 6171是一个步恰差记录，
归一步数记录26#： 10971 ，10971是一个步恰差记录，
归一步数记录27#：13255 ，13255是一个步恰差记录，
归一步数记录28#： 17647 ，无对应步恰差记录，
17673不是归一步数记录， 17673是一个步恰差记录，
归一步数记录29#：23529， 无对应步恰差记录，
归一步数记录30#：26623 ，26623是一个步恰差记录，
归一步数记录31#：34239 ，34239是一个步恰差记录，
35497不是归一步数记录 ，35497是一个步恰差记录，
归一步数记录32#：35655 ，35655是一个步恰差记录，
归一步数记录33#：52527 ，52527是一个步恰差记录，
归一步数记录34#：77031 ，77031是一个步恰差记录，
归一步数记录35#：106239 ，无对应步恰差记录，
归一步数记录36#：142587 ，142587是一个步恰差记录，
归一步数记录37# ：156159 ，156159是一个步恰差，
归一步数记录38#： 216367 ，216367是一个步恰差记录，
归一步数记录39#：230631 ，230631是一个步恰差记录，
归一步数记录40#： 410011 ，410011是一个步恰差记录，
归一步数记录41#：511935 ， 511935是一个步恰差记录，
归一步数记录42#：626331 ，626331是一个步恰差记录，
归一步数记录43#：837799 ，837799是一个步恰差记录，
归一步数记录44#：1117065 ，1117065是一个步恰差记录，
1126015不是归一步数记录 ，1126015是一个步恰差记录，
归一步数记录45#：1501353 ，1501353是一个步恰差记录，
1564063不是归一步数记录 ，1564063是一个步恰差记录），
归一步数记录46#：1723519 ，1723519是一个步恰差记录，
归一步数记录47#：2298025 ，2298025也是一个步恰差记录，
归一步数记录48#：3064033 ，3064033是一个步恰差记录，
归一步数记录49# ：3542887 ，3542887是一个步恰差记录），
归一步数记录50#： 3732423 ，3732423是一个步恰差记录，
归一步数记录51#：5649499 ，5649499是一个步恰差记录，
归一步数记录52#： 6649279 ，6649279也是一个步恰差记录，
归一步数记录53#：8400511 ， 8400511是一个步恰差记录，
归一步数记录54#：11200681 ，11200681是一个步恰差记录，
归一步数记录55#：14934241 ，14934241是一个步恰差记录，
归一步数记录56#：15733191 ，15733191是一个步恰差记录，
归一步数记录57#：31466382 ，31466382+1 = 31466383是一个步恰差记录，
归一步数记录58#：36791535 ，36791535是一个步恰差记录，
5518703不是归一步数记录 ，55187303是一个步恰差记录，
归一步数记录59#：63728127 ，63728127是一个步恰差记录，
归一步数记录60#：127456254 ，127456254 + 1 = 127456255是一个步恰差记录，
归一步数记录61#：169941673 ，169941673是一个步恰差记录，
归一步数记录62#：226588897 ，226588897是一个步恰差记录，
归一步数记录63#：268549803 ，268549803是一个步恰差记录，
再往后数字太大，计算困难，算了！
总结：到63#归一步数记录数268549803为止，是归一步数记录同时又是步恰差记录的数占了绝大多数，有52个，如3、7、9等，另外归一步数记录中的偶数（2、6、18、54、31466382、127456254共6个）在加1后就是一个步恰差，只有231、649、17647、23529、106239这5个归一步数记录没有对应步恰差记录，虽然计算方法不相同，但计算结果的相似度还是蛮高的！
来源: 计算巧合（归一步数记录与步恰差记录比较）