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一个小学生的作业之三——规律?

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发表于 2014-6-23 08:43:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
Fwjmath版主:你查过你的想法跟他们的异同之处吗?”
再次感谢Fwjmath版主及各位老师、网友。经认真思考我决定继续回答这个问题。
邬家邦先生说,Collatz问题的“迭代序列T(n)中的元素正像素数对分布那样杂乱无章,无规律可言;并且有时在求T(n)时会出现比n大得多的数……”“综上所述,似乎可以断言:柯雷茨猜想与哥德巴赫猜想是属于同等难度的数论难题。”
Collatz序列是杂乱无章,还是有自身特有的规律?我认真谈谈我的浅薄认识。望批评指正。

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 楼主| 发表于 2014-6-23 15:43:14 | 显示全部楼层
一如既往,一个一个问题的谈,并诚恳期待各种批评意见。

从邬家邦先生的《3N+1猜想》中,我学习到不少东西,他是我第一个应该衷心感谢的人。
当然书中的一些观点我不赞成。

邬家邦先生说,Collatz问题的“迭代序列T(n)中的元素正像素数对分布那样杂乱无章,无规律可言……”
能否找到Collatz问题的基本规律呢?
规律是客观存在,复杂的规律,需要逐步探索,但最终是可以找到的。几十年来,人们的研究是有成效的。继承前人的好多经验和研究成果,非常必要,例如,若Collatz问题对于奇数集M的所有元素都成立,则对于自然数集N的所有元素都成立。另外,我主张在Collatz问题的研究中采用二进制数(注;因二进制数较长,序号、上下标仍采用十进制数),这使迭代序列的变化规律变得比较直观,容易观察

Collatz问题定义如下。
对于所有正奇数m我们定义一个序列Ci(m),其中:C0(m) = m
并且对于所有i>0有:

    Ci(m) = (3Ci-1(m) +1)/ 2^e(m)     (m∈M)             (1.1)

(式中e(m)表示使偶数3m+1能被2e(m)整除的最大自然数)

上式是我从邬家邦先生的《3N+1猜想》直接照搬过来的,由于我采用二进制,改变为下式:

    Ci(m) = (11Ci-1(m) +1)/ 10^e(m)     (m∈M)             (1.2)




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发表于 2014-6-25 22:47:15 | 显示全部楼层
这次貌似比以往说的话要简洁多了。@fwjmath  
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 楼主| 发表于 2014-6-26 11:25:06 | 显示全部楼层
zichen 发表于 2014-6-25 22:47
这次貌似比以往说的话要简洁多了。@fwjmath

我努力改进,努力学习。更期望听到有内容的批评意见。

有时有人提出一些题外的问题,但又与讨论有点关系,我 不得不回答。我希望这类的问题能够少一点,让讨论集中在需要讨论的问题本身。难。
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 楼主| 发表于 2014-6-26 21:04:25 | 显示全部楼层
没有看到我具体的批评意见,故对对2楼帖子加一点说明。难免有一些貌似不简洁的话,请谅解。


下面这些是好心人借用某些资料,给我的忠告:

“如果某位仁兄给哈代写信,说‘我证明了黎曼猜想’(我猜历史上应该还真有),但是压根没说怎么证的,或者各种含混不清,又或者弄了几百页的论文又不给摘要,我觉得哈代看到这种信,应该会笑笑,然后直接放到废纸篓。为什么?一个人要证明自己很厉害,但却什么有用的信息都不给,光说自己厉害,凭什么浪费时间在这种人身上?要证明自己干了某种事情,就应该自己负起向别人解释的责任。

“不过的确有这么一些人,他们很认真地相信自己证明了某个大猜想,而且也很认真向别人解释了,但是证明是错的。对于这种人,起码从我个人来说,我是会给予尊重的。他们可能是喜欢数学而不得其门而入,那么稍微帮助一下也是正常的。所以我也会认真阅读他们的证明,并且相应地指出他们的错误。”
“无论我怎么解释,他们都不承认错误,坚信自己是正确的,是我理解错了。他们有的会解释,有的不会解释,但也都拿不出符合逻辑的理据。问题是,数学不是坚持就有用的,错了就是错了。”
我感谢这些忠告,并尽量从正面去理解它。所以,我并不说,我证明了什么大猜想。
我清醒地知道,就是说得天花乱坠,人们也不会相信一个低水平的业余爱好者在这些问题上会拿出来有价值的东西。即使是“很认真的解释”也没有用。我采用很笨拙的办法:我将大问题划分为一个个小问题,耐心具体地介绍自己的认识。并尽量说清楚:那些是继承或者照搬前人的,那些是我自己的体会、认识。如果对前人的观点有不同认识,我也会直说(我认为自己讲真话,别人才能更好帮助你。这并非是不尊重数学家的研究,当然也有可能是我不理解数学家的高深道理而说错了话,我会虚心接受批评,但不会不懂装懂。请大家放心,只要是有内容讲道理的批评,我不会“坚持”自己的错误)。我的目的仅仅是要说明,我在学习,并且有一点收获。

你目前说的东西,除了那些错的,基本上之前的人都知道。”说实话,这样的批评笼统、武断,我希望具体一点,但我不苛求他人。上面我再次从一个具体的、简单的问题开始,如果我有什么错误,指出它没有多大困难,愿不再出现笼统武断的东西。
自然“这种想法是标准的想法,是任何一个搞3x+1的人都会想到过的。”
唯一不同之处是,我采用二进制。
有人又说,“你这种证明思路,之前有人做过了,还没有走通。你现在的进度还远远落后于前人。我一时找不到参考文献,一个是懒得去找……”我知道,也有人有过采用二进制的思路。但我没有看到过认真采用二进制研究这个问题的文献,即或有人这样试过,也“没有走通”吧,否则这个问题就已经得到证明了。至于我的进度是否落后于前人,是否能够或者有利于证明问题,现在无需争论,更何况“进度”大概是一个很难衡量的东西。一步步认真地往下讨论,自然就明白了。匆匆忙忙下结论,还需要讨论吗。
我没有料到,二进制会引起一些人的误解。不少人总是把二进制与游戏联系在一起,有人还说二进制是属于应用数学范围的东西,要解决纯数学问题只能用十进制。我建议,那些不相信二进制能够解决某些数学问题的人,了解一点数学发展史,体验一下,为什么说“位值原则”是千百年人类智慧的结晶,为什么马克思称赞它是“最美妙的数学发明”。数字的特质以及其在特定问题中呈现的规律,是客观的,使用什么进位制,应根据研究对象的特点来决定。我希望让事实证明一切,不要一开始就把二进制拒之门外。这里,我只介绍一下,在Collatz问题上采用二进制的一个明显的优势(到目前为止,我不知道有谁讲过这一点,或许这是一个不标准的想法吧)。
如果采用十进制,(1.1)式中的e(m)值一般需要计算才知道,而采用二进制之后e(m)的值在很多情况下,一眼就能看出来。例如:当Ci-1(m)分别为121、3487、11851、7349时,你能看出来它们的e(m)值分别是多少吗?当我们将这些数字化为二进制之后,一眼就可以看出来,它们的e(m)值就是各自的带有下划线的字符数(下划线是我加的,后面的计算值是为了大家参考方便,不计算也不会错)。
               1111001×11+1=101101100
               110110011111×11+1=10100011011110
               10111001010101×11+1=1000101100000000
               1110010110101×11+1=101011000100000

顺便说一声,以上四个数字代表了4种典型结构,你可以任取几个奇数对照着试一试。

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 楼主| 发表于 2014-6-28 14:04:22 | 显示全部楼层
(接2楼)
与此同时,借鉴前人的研究成果明确归一步数(Delay)的定义如下:
定义1:对于所有的奇数m令k为满足 Ck(m) =1的最小上标,我们称k为m的归一步数(Delay), 并记作 D(m)。若Ci(m1)=Ci(m2)(m1≠m2  m1、m2∈M  i∈N),则D(m1)=D(m2)
归一步数(Dela)借用了荷兰学者Eric Roosendaal《Onthe 3x + 1 problem》网站上的概念。
为此,我真诚感谢国外学者,同时也真诚感谢介绍我理解这个网站的分布式计算网站和为此作了大量工作的FWJ版主等。
由于研究范围不同(EricRoosendaal没有缩小研究范围,D(m)的数值较大,而我根据(1.2)式推算),具体数据有较大区别,但二者之间存在固定的数学关系,基本规律是一致的,不影响对问题的研究探讨。
(虽然是简单的借用,也有值得讨论的内容,欢迎批评指导)
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 楼主| 发表于 2014-7-1 22:47:20 | 显示全部楼层
我在5#介绍了一个明显的例子——“e(m)"值的确定。对于十进制,很多情况下,我们需要通过计算,才能得出准确的e(m)值,对于二进制,一般情况下,一眼就能看出e(m)的值来,除非该数末尾的“01”字符太多,超出了我们的目测计数能力。这是一个简单的数数问题。
这样的东西是否也属于”不干正事”,是否也让某些朋友“头疼”,或者依然是“貌似”什么什么的东西。之前有人介绍过类似的观点吗?欢迎批评指正。
我将继续用类似的具体例子说明问题,您的意见一定会对我有帮助。谢谢!
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 楼主| 发表于 2014-7-5 20:27:37 | 显示全部楼层
下面是对6#文字的说明,同e(m)值一样,这里介绍一个简单的但是必要的证明(我没有发现前人有对此证明的文献,故特别期望大家批评指正)。


说两个不同研究范围下的归一步数(也有人称作“高”或“完全停止次数”)之间存在固定的数学关系,需要证明。

正如邬家邦先生所言:“迄今为止大量的验证无一例外地表明,如果n和n+1同高,则在对它们各自迭代归一过程中用3乘的次数m也相同,即m(n)=m(n+1),但这一令人称奇的现象还没有获得理论上的证明。”用3乘的次数m”,实际上就是我们将研究范围缩小到奇数时的归一步数D。

当我们采用二进制研究问题时,这一现象就比较容易证明了。

观察一个二进制数的完整迭代序列(包括偶数),你必然发现:每次“用3乘”之后前部的字符增加,除以2之后尾部字符在减少(对于二进制数,就是尾部去掉的0的个数)。

累计增加的字符数为j≈m*ln(3)/ln(2)

累计减少的字符数等于j与B(n)( B(n)≈ln(N)/ln(2))的和, 即:j+B(n)。

设研究范围为全部自然数时,某数的归一步数为k,则:

k≈j+B(n)+m= B(n)+m(1+ ln(3)/ln(2))

由于同高连续数对的k、B(n)均相等,因此m也必然相等。从而解开了“如果n和n+1同高,则在对它们各自迭代归一过程中用3乘的次数m也相同,即m(n)=m(n+1)”的谜团。

附图显示了一对同高连续数对10110(22)、10111(23),归一步数(高)k=14,归一过程中用11(3)乘的次数m=4的迭代序列。可供参考。

T030.jpg
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 楼主| 发表于 2014-7-14 21:41:51 | 显示全部楼层
(接上)
这一问题的解决,不仅说明两个不同研究范围下的归一步数之间存在固定的数学关系,也再一次显示了在Collatz问题上采用二进制的优越性。
欢迎批评指正。
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 楼主| 发表于 2014-7-28 08:18:55 | 显示全部楼层
(转载)公共辩论,求真比求胜更重要(人民时评)   范正伟
在公共辩论中,比输赢更重要的是,我们由此展现了什么,从中学到了什么;通过辩论,我们是否拓展了视野、开阔了思路、激发了思考
这几天,因“转基因食品该不该吃”产生骂战,方舟子和崔永元从微博转战至法庭,互指对方侮辱诽谤、侵害名誉。从斗嘴到说法,这场官司不管胜负如何,都有一定的标本意义,尤其是,比起一些人的“微博约架”,应该说是一种理性的回归。
只是,一场原本围绕科学命题的公共辩论,最终在互斥“流氓”“骗子”的骂声中收尾,还是令人心生感慨。当严肃的科学探讨,变成关乎名誉尊严的捍卫之战;当对转基因的关注,成为“挺方还是挺崔”站队表态;当摊开手掌的公共辩论,成为攥紧拳头的相互攻击,这种戏剧性的结局,恐怕不是各方都愿意看到的。
近些年来,公共辩论“剑走偏锋”的现象并不鲜见:心平气和的讨论,变为唾沫横飞的辱骂;同一话题的分歧,成了互揭隐私的竞赛;网络争吵的激化,导致赤膊上阵的“约架”,至于动辄质疑别人为“五毛”“美分”,或者相互送上“卖国贼”“爱国贼”的帽子,也是时有耳闻。类似现象,不仅拉低了公共辩论的价值,许多时候也冲破了法律道德的底线。究其原因,往往是伸张正义的急迫、求胜心切的冲动,让预设立场左右了事实选择,让站队逻辑取代了是非判断,让意气之争消解了话题本身。
捷克教育家夸美纽斯有句名言,“对于事实问题的健全的判断是一切德行的真正基础。”遗憾的是,在当下的现实中,许多时候事实还没搞清楚,就有了倾向性答案。君不见,从马航客机失事,到苹果手机定位,再到海南棉被捐赠,有人总是选择性相信,然后再以观点论证观点。至于真相如何,已经不再重要,重要的是观点的卓然不群,重要的是意见的抱团取暖,难怪有人发问:在雄辩“胜于”事实的时候,我们如何关心真相?而作家刀尔登在《中国好人》一书中,也忧心忡忡地写下了这样一段话:“道德下降的第一迹象,就是不关心事实,毕竟,辨别真相,是累人的事。”
或许在一些人看来,偶尔对事实的忽略“无伤大雅”,重要的是自己观念的先进,高尚的是对正义底线的捍卫。毫无疑问,宽容是有底线的,但这个底线,只能是法律道德,而不是一己的好恶。如果一边高呼自由,一边却对不同声音没有起码尊重,充满了智商和道德的优越感;如果一边宣称平等,一边却认为别人不配有发言资格,摆出一副真理在握、不容分说的姿态;如果一边反思“文革”,一边却像“文革”一样,动辄给别人扣上吓人的大帽子,非此即彼、非友即敌、非红即黑,这种辩论和交锋,除了固化成见、撕裂共识,恐怕不会有别的意义,更难以收获新的东西。
事实上,即便是错误的意见,其内容往往也包括着部分合理性。罗曼·罗兰说得好,“如果你想独占真理,真理就要嘲笑你了。”辩论的本质,不在于辩倒对方,而在于对真理的不懈探求;辩论的目的,不是让对方哑口无言,而是为了弄明白问题。想赢怕输是人之常情,但在公共辩论中,比输赢更重要的是,我们由此展现了什么,从中学到了什么;通过辩论,我们是否拓展了视野、开阔了思路、激发了思考。因此,我们期待,在公共辩论中,胜利的一方能够说,“我从对方身上学到了新的东西”;失败的一方能够说,“我错了,但却得到了真理”;围观的人们能够说,“我们又向真理迈进了一步”。
有人说,21世纪世界历史的最重要事件,可能是中国作为一个文明大国的重新崛起。从经济强国走向文明大国,呼唤着精神的勃发,观念的更新,理性的构筑。从社会来讲,这不仅需要探求真理的勇气,更需要探求真理的氛围;就个人而言,这不仅需要表达观点的技巧,更要和而不同的理念。惟其如此,我们方能搭建理性、建设性的讨论平台,提升中国社会的民主素养和公共精神,不辜负这个伟大的时代。
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 楼主| 发表于 2014-8-18 21:23:31 | 显示全部楼层
2001年,国内出现了两篇介绍研究Collatz问题的著作,一是邬家邦先生的《3N+1猜想》(湖南大学出版社),二是在互联网上广为流传的异调先生的《3x+1问题》(《三思科学》电子杂志,创刊号,2001.07.01)。这两篇著作影响较大,推动了国内对该问题的研究,我也从中获益匪浅。
Collatz问题问世数十年未得解决,人们难免对研究的前景感到悲观。邬家邦先生说,Collatz问题的“迭代序列T(n)中的元素正像素数的分布那样杂乱无章,无规律可言……”,异调先生说,“有一些蛛丝马迹表明我们有必要稍微严肃点看待此问题,因为3x+1问题离不可证明的问题并不太远。” 他还引用了著名数学家保尔·厄尔多斯(Paul Erdos)的话,数学还没有准备好来回答这样的问题。
3N1函数的一个吸引人的性质是其迭代过程中的伪随机行为,这种伪随机性被认为是解决3N1猜想的困难所在。”(见Baidu文库:《3N+1猜想的Markov链模型》,作者:赵国、王辉)。
还有的研究者“利用4m+3迭代,提出一个构建一个无限单调增值序列的方法(文中仅构建了“任意多次的单调序列数的序列”)”,借此否定该猜想的成立。(陈中乐:《构建一个无限单调增值序列的方法》,齐齐哈尔大学 28 120121月)。
……
以上研究者的着眼点是某些自然数的“迭代序列(或航班)”,似乎忽略了不同迭代序列之间的关系及其整体组合。所谓数学还没有准备好来回答这样的问题,也许是尚未搞清楚问题的整体面貌。近几年,我采用二进制数,通过认真观察分析,将研究范围缩小到一个较恰当的范围,揭示出Collatz树的整体规律。
我相信Collatz树的整体规律是客观存在的,是经得起任何检验的;同时我也清醒地认识到,一个业余数学爱好者的文章必然会有这样那样的错误、漏洞。至于我是否真正证明了Collatz问题,或者说我是否犯了一个极其幼稚可笑的错误,我渴望有关专家和关注该问题的朋友批评指正。无论结局如何,对我来说都将是一次极好的学习机会。
我将对Collatz问题的认识体会分成几篇小文章,每篇集中说一个小问题,并从今年6月29日起逐步投稿到“科学智慧火花网站”,希望得到比较认真的审查。为听取更多的批评意见,我将这几篇文章逐一贴出(再次发出,个别文字有修改)。
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 楼主| 发表于 2014-8-18 21:27:05 | 显示全部楼层
观察、二进制、简化计算,这是我探索Collatz问题的起点。

数学与观察之一:简化计算的一个途径(见附件)

数学与观察之一.doc

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 楼主| 发表于 2014-8-21 08:26:00 | 显示全部楼层
研究Collatz问题时,将范围缩小到奇数集内已得到认可,进一步缩小研究范围以便全面、清晰地反映问题的整体规律。

数学与观察之二.doc

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 楼主| 发表于 2014-8-21 15:53:25 | 显示全部楼层
数学与观察之二 图2-1
T002.jpg
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 楼主| 发表于 2014-8-23 15:54:31 | 显示全部楼层
数学与观察之三:Collatz树的整体规律(1)

数学与观察之三(1).doc

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