一个小学生的作业——请各位老师批评指正

平常心

       我是来学习的，我会诚诚恳恳听取各种意见。当然，由于我的水平很低，类似“显然的东西”各位老师能理解，我不能，请老师不要嫌弃我的愚笨，讲具体一点。因此，再重复一遍：“问题总要一步步解决，我们先讨论一下我论证的Collatz树的规律是否正确？这是整个问题的基础，如果有了沟通的基础，下面的问题就好谈了。我是一个低水平的数学爱好者，我的论证一定会存在这样那样的问题，通过讨论我也能够学习到很多东西。”

平常心

Fwjmath 老师：“考虑5x+1问题，你的整个论证都可以照搬上”。


                       5X+1与3X+1问题

       不可否认，5X+1问题与3X+1问题有一些相似之处。我对Collatz3X+1问题的各别论证方法可以搬到5X+1问题上，如将研究范围缩小到奇数。另外也可以仿照着搞一个定理1：   
       5X+1问题定理1：若  m≡10011(mod100000）   必有 m =m0×104(k+1)+ 104k+1)+ 104k+……+ 104(k-1)+1+ 104(k-1)+ 11     且(and)D(m)=D(m0)       （m∈M k∈N  m0≢10011(mod100000））


       然而这样的照搬仅仅是表面形式的照搬。看起来两个定理1似乎差不多，但实质内容和作用有着本质的区别。如果硬要搬过去，这无异于硬把林妹妹的绣花鞋套在花和尚鲁智深的脚丫子上。
       盲目地相信自己的经验和表面印象，往往会忽略、掩盖问题的实质。
       在Collatz3X+1问题中，定理1、2是这个问题的基本规律，而定理2有是建立在定理1基础之上的。根据以上定理可将奇数划分为两类：≡101(mod1000）或≢101(mod1000），前者均可用后者之一来表示，而大于11(3)的后者又必定都可以组成孪生数对。若所有孪生数对中较小的奇数符合猜想，则所有自然数符合该猜想。这为发现Collatz树的基本规律奠定了基础。
       所有的孪生数对，有的是单独的一对，例如（划横线的是数对的一对孩子，可以看出这已经是定理1的范围了。下同）：
10011000001        100110000011
1110010001         111001000101

  有些则可以组成两个对应的序列段，例如：

  
          11111         111111   
         101111        1011111
         1000111       10001111

         1101011       11010111
         10100001      101000011
         1111001        111100101

       以上例子适用于所有的奇数，并非仅适用于某些符合猜想的奇数。我们可以看出定理2 与定理1的依赖关系，也印证了孪生数对的普遍存在。

       在5X+1问题中，你也可将奇数划分为两类：≡10011(mod100000）或≢10011(mod100000），前者均可用后者之一来表示。接下来，你很难找到类似上面问题中的孪生数对（我没有认真研究过这个问题，不敢断定没有，但可以肯定，绝不会像3X+1问题中那样普遍），当然就根本不会出现定理2那样的结论。因此无法构成像Collatz树那样规律的大树。在这个问题上根本不存在这样的规律，你怎么可能搬过来呢？

       我是一个低水平的数学爱好者，我的论证难免有这样那样的问题。但我绝不会毫无根据地编造“规律”。我诚心诚意欢迎大家批评指正。

平常心

诚心诚意等待老师的批评指导。特将老师推荐的漫画转帖在此。尽管我欣赏它，但这究竟不是证明，不是对问题的实质性讨论。

fwjmath

我先问你一句，你那个定理里边，104什么的是多少进制的？

你用二进制就用二进制，用十进制就用十进制，不要搞不伦不类的。

最后，其实你觉得很显然的地方就是你证明有问题的地方。凭什么说每个数字都在同一棵树上？如果有两棵不同的树呢？如果有无数的树呢？

你这个平均值的论证，其实就是早已经有的heuristic，不过那个证明不了什么东西，先把异调的文章读好了再说，特别是那个启发式论证。

平常心

谢谢您的回复！

饭要一口一口吃，问题要一个个解决。您提的问题我一定一个个认真答复，但要有个先后顺序，不要着急，我是来学习的。平心静气，把一个问题说清楚了，再说下一个。否则很难说到一起。

这个贴子的主题是您提出的：“考虑5x+1问题，你的整个论证都可以照搬上”。我请您搬一般，得不到答复，只好自己试一试。现在先就这个问题讨论讨论。我想这个不难吧？

我多次说过，我的文章肯定有这样那样的错误漏洞，但我认为，不是说某个地方错了，就全错了，也不是有一点点对的地方，就认为是全对了。即或一个小小的问题，也可能有对的地方，也有错误的因素。认真分析，才能学习到真正的东西。

fwjmath

平常心 发表于 2013-4-12 22:12
谢谢您的回复！饭要一口一口吃，问题要一个个解决。您提的问题我一定一个个认真答复，但要有个先后顺序，不 ...

我指的是那套树的东西，不是后面启发式论证什么递减的那个。如果你误会了，那我先说声不好意思。

对于任意的规则，都可以通过适当的构造弄出一棵树来，具体来说取图的spanning tree，再加上某些规则即可。

平常心

非常好，我们已经接触到了问题的关键。事实上，对5X+1与3X+1的比较，涉及到了问题的实质。我之所以坚持讨论这个问题，就是想先在实质问题上逐渐缩小我们之间的分歧。分歧也好，误会也罢，都反映出我们看问题的角度、方式的差别。我相信，只要认真交流，绝大多数问题上最终会达到一致。

我探索该猜想，从开始到现在一直都是公开进行的，我希望我的每一步都能得到监督批评。然而令我遗憾的是，基本上听不到实质性的意见。专业数学工作者与业余爱好者之间似乎存在着较大的矛盾，几乎无法交流。我多次试图与一些研究该问题的专家联系，大多是石沉大海；而业余爱好者，也由于各种原因拒绝合作，不肯作深入交流。你提出的意见，是到目前为止，我听到的意见中，唯一有实际价值的意见。

平常心

“我先问你一句，你那个定理里边，104什么的是多少进制的？你用二进制就用二进制，用十进制就用十进制，不要搞（得）不伦不类的。”
我也先回答这个问题。
二进制数在3X+1问题上有很大优越性，但其缺点是数字太长。如果序号、上下标等也采用二进制数非常不方便。于是，就有了这个“不伦不类”的东西。虽然不伦不类，但还不至于影响我们的研究。如果有什么好的办法，我愿意修改我的这种“不伦不类”的办法。在没有修改之前，只好请各位老师理解，委屈各位了。由此带来的不便，请谅解。

fwjmath

平常心 发表于 2013-4-13 21:27
“我先问你一句，你那个定理里边，104什么的是多少进制的？你用二进制就用二进制，用十进制就用十进制，不 ...

上标就好好用^隔开，比如说2^4。另外我觉得你还是直接用十进制写比较好，对搞数学的人来说，用多少进制只是个方便的问题。

平常心

fwjmath 发表于 2013-4-13 21:48
上标就好好用^隔开，比如说2^4。另外我觉得你还是直接用十进制写比较好，对搞数学的人来说，用多少进制只 ...

这是我转帖时的疏忽，以后争取不发生这样的错误。
二进制数是必须的，如果没有二进制数的采用，就很难得到我选择的结论。希望我以后的说明能够让各位老师理解这一点。

平常心

“你这个平均值的论证，其实就是早已经有的heuristic……”

我文章中的那个“平均值“与异调文章里启发式论证里的“平均”有本质区别。我感到各位老师对数学家的论证以及思维方式很熟悉，而我没有受过系统的数学专业教育，因而我的思路以及表达方式很不正规。但我的论证绝不是凭空编造的。一个问题的规律是客观存在，数学家虽然尚未彻底证明该猜想，但已经发现了其中很多规律性的东西，我的文章中必然也要出现某些与其类似的东西。正因如此，容易引起各位老师的误解，“平均值”就是其中之一。
下面是异调先生文章的有关片段：

J. Lagarias改进了这个启发式论证。他指出，如果我们把奇变换后再作偶变换考虑在一起，那么这样得到的结果可以看作是真的“很随机”。于是有1/2的可能性它是奇数，有1/4的可能性是一个奇数的2倍，有1/8的可能性是一个奇数的4倍，等等。于是飞行高度的变化就是以下变换的“平均效应”；
——n乘以3/2，这有1/2的可能（奇变换后再作偶变换的结果为奇数）；
——n乘以3/4，这有1/4的可能（奇变换后再作两次偶变换）；
——n乘以3/8，这有1/8的可能（奇变换后再作三次偶变换）；
…………
于是平均来讲，每次变换后高度的变化就是
c=(3/2)1/2(3/4)1/4(3/8)1/8(3/16)1/16……=3/4
所以高度在总体上来说应该是越来越低，每次大约低25%，最终降到一个循环上（不过这个论证没有排除有除了4→2→1以外的其他循环）。这个论证可以使我们使用论证中的模型来计算出，从一个自然数开始，平均要多少步的这样的飞行（就是保持高度航程中奇变换的次数），可以使飞行高度降到起始点以下。理论上的数值是3.49265……。如果我们对3到2000000000（二十亿）之间的航班的保持高度航程中奇变换的次数取平均值，我们得到3.4926……。这两个结果惊人的一致性使我们相信上面的启发性模型是正确的。

请注意：这里平均的来源是“平均来讲，每次变换后高度的变化就是”，这就是说“每次变换”的高度变化是不同的，事实上也是非常不同的。这样的论证可以说明所有自然数变换后高度变化的平均值是固定的，但不能证明存在一部分自然数始终保持较大高度变化，而另一部分则维持较小的高度变化。

我绘制的Collatz树并非是：“通过适当的构造弄出一棵树来，具体来说取图的spanning tree，再加上某些规则即可。”它是客观存在的。确切一点说，是整个Collatz树的核心并具有代表性的“子树”(我在分析5X+1与3X+1的区别时已讲了这个问题，以后还会进一步具体介绍)。在这颗树上，任何一个结点的数位与这个结点的两个最小双亲的数位平均值的关系是固定的，这个固定的关系并非是众多（或者所有）结点与其知晓双亲关系的“平均值”。在这里不存在特殊的结点（如果说有，那只有Collatz树的根”1”略有区别，但这不影响我们的论证）。

fwjmath

平常心 发表于 2013-4-14 07:49
“你这个平均值的论证，其实就是早已经有的heuristic……”

我文章中的那个“平均值“与异调文章里启发式 ...

我还是那句话：你怎么证明所有数都在你那棵树里？

平常心

fwjmath 发表于 2013-4-14 14:38
我还是那句话：你怎么证明所有数都在你那棵树里？

不急。
请先比较一下，我的“平均”与“启发式论证”中的平均是否一样？

fwjmath

平常心 发表于 2013-4-14 14:51
不急。
请先比较一下，我的“平均”与“启发式论证”中的平均是否一样？ ...

本质上是一样的。

平常心

fwjmath 发表于 2013-4-14 15:26
本质上是一样的。

不妨讲讲一样的原因。