奇偶数概念的推广

laodiao8014

前一阵子发帖子聊了一下3x+1问题,感谢尊敬的fwjmath指点,使我不至于走弯路.
      总觉得在代数整数范围内的奇偶数概念要说清楚，现在就奇偶数的概念推广一下，有不当之处敬请指教，自已找不到资料，谁要是找到现成的书或资料麻烦告诉我一声.
      一.先看看整数范围内的奇偶数性质：
       1. 偶数加偶数是偶数。
       2. 奇数加奇数是偶数。
       3. 偶数加奇数是奇数。
       4. 2和（-2）能整除整数范围内所有的偶数,地位比较特殊。
       5. 整数集等于偶数集加奇数集。
     二.代数整数范围内的奇偶数及其性质，用两个具体的例子吧！
   （一）.若x是复整数，形如s+t*i，i是虚数单位，s和t均为普通整数，构成复整数环（高斯整环）。（复整数是代数整数的一种）。
   奇偶性规则是：s+t为偶数时，s+t*i是偶复整数，s+t为奇数时，s+t*i是奇复整数。
   显然仍有：
       1.偶加偶还是偶的.
       2. 奇加奇也是偶的.
       3. 奇加偶的是奇的。
       4.(1+i),(1-i),(-1+i),(-1-i)这四个偶复整数，地位也比较特殊，能整除复整数环内所有偶复整数。
       5. 复整数环内恰巧分为奇复整数和偶复整数。
      例如：1，i,2+i,1+2*i这几个是奇复整数；2，2*i,1+i,3+5*i,这几个是偶复整数。
     （二）若x是根号下2（即2^(1/2)）生成的数，形如r+s*2^(1/2)的代数整数，构成一个代数整数环，r和s是普通整数。
     奇偶性规则：r是偶数时,称x=r+s*2^(1/2)是偶的,r 是奇数时,称x=r+s*2^(1/2)是奇的。
    显然有
    1.偶加偶还是偶的.
    2.奇加奇也是偶的.
    3.奇加偶的是奇的。
    4.2^(1/2)和（-2^(1/2)）这两个偶代数整数，地位也比较特殊，能整除所有形如r+s*2^(1/2)的偶代数整数,(在2^(1/2)生成的代数整数环内)。
    5.此代数整数环内恰巧分为奇代数整数和偶代数整数。
    例如，-3-2*2^(1/2)，3，-7+2^(1/2)，这几个是奇代数整数。
            2+3*2^(1/2)，4，-10+9^(1/2)，这几个是偶代数整数。
     (三)当然，还可以在别的代数整数环里规定奇偶代数整数。
    在一些代数整数环里类似于(1+i),(1-i),(-1+i),(-1-i)地位特殊的偶代数整数还不只四个.
    例如在3^(1/2)生成的代数整数环里，形如r+s*3^(1/2)的代数整数,规定r+s为偶数时, r+s*3^(1/2)为偶代数整数,r+s为奇数时, r+s*3^(1/2)为奇代数整数..有3^(1/2)+1，3^(1/2)-1，-3^(1/2)+1，-3^(1/2)-1，5+3*3^(1/2), 5-3*3^(1/2), -5+3*3^(1/2), -5-3*3^(1/2),这八个偶代数整数均能整除3^(1/2)生成的代数整数环里所有的偶代数整数.(不知道这个环里还有没有别的这样特殊地位的偶代数整数).
     三.如果代数整数环R内可以规定奇偶代数整数.
     有奇偶性质:
    1.偶加偶还是偶的.
    2.奇加奇也是偶的.
    3.奇加偶的是奇的。
    4.此代数整数环内恰巧分为奇代数整数和偶代数整数。
    少了个性质:某一个偶代数整数u能整除环R内所有的偶代数整数.
    (也就是此整环R内不存在这样的偶元u,此u能整除R内所有的偶元).
    例如,由2^(1/2)和3^(1/2)生成的整环R,此环中一个元x,形如r+s*3^(1/2)+t*2^(1/2)+v*6^(1/2),r,s,t,v均为普通整数,奇偶性规定为:当r+s为奇数时,x= r+s*3^(1/2)+t*2^(1/2)+ v*6^(1/2)为奇代数整数,当r+s为偶数时,x= r+s*3^(1/2)+t*2^(1/2)+ v*6^(1/2)为偶代数整数.若存在一个偶元u能整除R内所有的偶元,则u能同时整除(3^(1/2)-1)和2^(1/2),但2^(1/2)的因子只有单位数(么数)和正负根号下2,( 即2^(1/2), -2^(1/2)),u只能取值为2^(1/2)或(-2^(1/2)),这两个数都不能整除(3^(1/2)-1),故这样的u不存在.
     四.还可以在许多整环R内定义奇偶元,这样就推广了整数环内的奇偶数.
     如有兴趣,可以把许多整数环内涉及到奇偶数的问题推广,不光是3x+1问题,比如说哥德巴赫猜想，推广到复整数环，就是一个偶复整数，能否表示成某两个不可约的奇复整数之和，等等。

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-6-16 22:36 编辑 ]

fwjmath

事实上不需要这么复杂阐述这些东西。任意的环A有加法运算+和乘法运算×，那么我们定义B={x | 存在y属于A使 x = y + y}为A中的偶元素的集合。那么B就满足你说的所有条件，而且构成A的一个子环。
你说的“复数整数”在数学上叫高斯整数，与一般的整数域很相似，但是也有不同的地方。

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-26 12:25 编辑 ]

fwjmath

觉得这样的定义不好，一个是有一些概念，比如说整除，本来在环中是未定义的，同样的问题还有因子；第二个是“整环”本身就没有定义；最后就是3.中u*s=2不正确，因为*是对环封闭的，而2未必属于这个环。

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-26 12:24 编辑 ]

fwjmath

仍然有问题。
如果我令集合B={0}的话，完全满足你的所有条件，但是这个想必不是你想要的集合。

[ 本帖最后由 fwjmath 于 2008-6-20 18:17 编辑 ]

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-26 12:24 编辑 ]

fwjmath

仍然有问题。
由5,6，我们可以知道，对于任意元素(a,b)属于R×B，ab属于B。这样的话B构成乘法群（R\{0},×）的一个理想（ideal）。如果这个B包含乘法单位元1的话，我们可以知道B就是全集R。
然后我们来考虑x^2+x+1的两个复数根w1=-1/2+i*sqrt(3)/2和w2=-1/2-i*sqrt(3)/2。根据定义它们是代数整数。如果w1和w2任一属于B的话，应用（6）可以知道w1w2属于B，而w1w2=1，乘法单位元属于B，所以在这种情况下B是全集R，A是空集。如果w1和w2都属于A的话，应用(1)，w1+w2属于B，而w1+w2=-1，所以-1属于B，又因为B是一个理想，-1*-1=1也属于B，同样我们得到B是全集R，A是空集。
这个的确很难定义，不过我觉得还是有希望的。

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-26 12:23 编辑 ]

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-26 12:23 编辑 ]

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-26 12:22 编辑 ]

fwjmath

我觉得你现在修改之后的定义也很符合人们对于奇偶性的日常理解，所以估计是可以的。而代数整数不能定义奇偶性恐怕是它本身的性质所致。
整数环并不是有奇偶性的最小的环。事实上，Z/2Z，也就是只由0和1组成的环（加法取逻辑异或，乘法取逻辑与）是可以定义奇偶性的。

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-26 12:22 编辑 ]

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-26 12:21 编辑 ]

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-26 12:21 编辑 ]