用方程解3x+1问题

laodiao8014

编程算 1+2^(1/2),(用变通的3x+1方法),发散好快.
     
       对前面第十五段的补充。（本帖中“奇元”“偶元”（或者“奇的”“偶的”）的含义在“奇偶数概念的推广”这篇帖子中讨论过，仅供参考）。
(一)．在2^(1/2)生成的整环内，以2^(1/2)作除数（即u=2^(1/2)），从( 13)+( 6)*g算起，
（注：g=2^(1/2)）
（方法是乘3加1,再用2^(1/2)除成奇的，……）

有如下一个循环圈：
  ( 13)+( 6)*g    m( 1 )= 3   ( 9)+( 10)*g    m( 2 )= 3   ( 15)+( 7)*g    m( 3 )= 1   ( 21)+( 23)*g    m( 4 )= 1   ( 69)+( 32)*g    m( 5 )=8  ( 13)+( 6)*g

此圈有5个奇元。

      以下是计算过程：

         3*(13+6*g)+1=(g^3)*(9+10*g)

         3*(9+10*g)+1=(g^3)*(15+7*g)

         3*(15+7*g)+1=g*(21+23*g)

        3*(21+23*g)+1=g*(69+32*g)

        3*(69+32*g)+1=(g^8)*(13+6*g)

       方程组如下(g = 2^(1/2)).

        3*x(1)+1=(g^m(1))*x(2)  

        3*x(2)+1=(g^m(2))*x(3)

        3*x(3)+1=(g^m(3))*x(4)

        3*x(4)+1=(g^m(4))*x(5)

        3*x(5)+1=(g^m(5))*x(1)
        
             这里x(1)解公式为   

         a =  3^(n-1)  +  3^(n-2)*(g^(m(1)))  +3^(n-3)*(g^(m(1)+m(2)))  +……+3*g^(m(1)+m(2)+m(3)+……+m(n-2) ) +  g^(m(1)+m(2)+……+m(n-1))   

         b  =  (  g^(m(1)+m(2)+……+m(n-1)+m(n) )   - 3^n  )
     
        x(1) =a / b  

       令m(1)=3,m(2)=3,m(3)=1,m(4)=1,m(5)=8,n=5

    (5个奇元，故n=5)
    代入解公式就算出x(1)=13+6*g
    后面的解类似。

   相对于前面十五段，找了个循环圈，但不知道1+2^(1/2)用推广3x+1规则（乘3加1,再用2^(1/2)除成奇的，……），会不会算到这个循环圈内。

    (二)． 用方程组的解公式找循环圈，对形如s+t*(2^(1/2))的代数整数，（s和t为普通整数），如果它是某个循环圈里的奇代数整数，则s和t同号，即s*t>0,已找到的几个循环圈如（-3-2*2^(1/2)）和(-3-2^(1/2),-3-4*2^(1/2)),包括上面的有5个奇元的循环圈，均是同号。(证明很简单略）

而对于一个形如s+t*(2^(1/2))的代数整数，（s和t为普通整数），如果s和t异号，           （如1-2^(1/2)），用推广3x+1规则（乘3加1,再用2^(1/2)除成奇的，……），算下去s和t总是异号，例如用1-2^(1/2)算下去，前6个奇元如下（g=1-2^(1/2)）

        ( 1)+(-1)*g   m( 1 )= 1   (-3)+( 2)*g    m( 2 )= 3   ( 3)+(-2)*g    m( 3 )= 2         ( 5)+(-3)*g    m( 4 )= 1   (-9)+( 8)*g    m( 5 )= 2   (-13)+( 12)*g  

再算下去 s和t 全部是一正一负的，而前面已指出循环圈内奇元的s和t是同号的，故1-2^(1/2)这样算下去是不进入循环圈的。
(也许x^2-x-2=0的两个根很有意思! )

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-25 14:04 编辑 ]

fwjmath

看起来还是比较认真的，但是我个人觉得这种尝试用方程组解决问题的方法得不出什么很有用的结果，因为3x+1问题的本质很深奥，不是简单直接的初等方法能够攻破的。3x+1的某些变种在某些公理系统中是不可证明的。
建议如果想业余研究一下的话，先看看我们翻译的3x+1资料：
http://www.equn.com/3x+1
也不要到什么东陆数学论坛了，那里的人很多都有疑似的妄想症，基本不按照逻辑说话。
这个问题拿来消遣一下是没有什么问题的，但是不要指望能解决，现在的数学还没有准备好回答这样的问题。
另外，关于循环的问题，已经有很强的结论表明一百万阶以下的循环是不存在的。
由于本版主要讨论数学类项目的程序使用问题，您的帖子将会被移动到会员交流区，敬请谅解。

扎西

fwjmath很专业，很负责

fwjmath

刚才上wiki查了查~~~发现这种想法别人早就很仔细地讨论过了~~~没得出什么结果来~~~数值运算也没多少人做~~~估计也是没什么用~~~

fwjmath

你所谓的“分水岭”对于3x+1问题完全没有用处。你这个方法的用处是证明不存在循环，也就是说不存在这样的组合使你的第六部分中的a=b。但是这并不容易，甚至可以说是很困难，因为它涉及到的东西很基本，比如说进位制等等。而且你的这种方法前人早已想过，根据我查到的资料来看你现在还很落后于前人。以上是意见。
请发帖前先看看别人对你观点的意见，这样也是对别人的一种尊重，否则如果别人不能在你的帖子里得到教益，这个帖子也没有存在的意义。
以上是警告，请“讨论”而不是“演讲”，这里有不少人的水平至少不低于你的。
如果继续这样的话，我会考虑作灌水处理。
以上抄送短信息。

Julian_Yuen

兄弟，或许有时候表太认真，我的意思是说，对待不去认真想想的情况，别人自己都不用心，你就更不需要这么用心了，我想，你的时间用在别的地方要比用在这里更划得来。

BiscuiT

移到水版了。。没有犯规就随他演说吧～

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-25 14:02 编辑 ]

fwjmath

算了一下，似乎是发散的。
不过也很好理解。二分之一的机会乘以3加一再除以根号二，二分之一的机会直接除以根号二，发散的可能性很大。
当然这不是严格的证明，不过我觉得这个应该是发散的，因为条件太软弱了。

[ 本帖最后由 fwjmath 于 2008-3-24 06:52 编辑 ]

laodiao8014

十六. 正负整数搅在一堆的3x+1问题
     在3x+1问题中，把除以2换成除以负2，看看会如何？
方程组变为： ……
      3*x(-2)+1=（-2）^m(-2)*x(-1)
      3*x(-1)+1=（-2）^m(-1)*x(0)  
       3*x(0)+1=（-2）^m(0)*x(1)
       3*x(1)+1=（-2）^m(1)*x(2)
       3*x(2)+1=（-2）^m(2)*x(3)
       3*x(3)+1=（-2）^m(3)*x(4)
        ……
      3*x(n-1)+1=（-2）^m(n-1)*x(n)
      3*x(n)+1=（-2）^m(n)*x(1)
解的公式就算了。
例：1,4,-2,1,这个圈子还有，（相对于3x+1问题除以2的）
            3，10，-5，-14，7，22，-11，-32，16，-8，4，-2，1，进入圈子了.
            5，16，……，1，进入圈子了。
            -1，-2，1，好，-1被1收编了。
            -3，-8，4，-2，1，也被1收下了。
            -7，-20，10，-5，……，1，又是1的货。
           -17，-50，25，76，-38，19，58，-29，-86，43，130，-65，-194，97，292，-146，73，220，-110，55，166，-83，-248，-62，31，94，-47，-140，70，-35，-104，52，-26，13，40，-20，……，也没逃出1的手掌心。
计算能力有限，不知除了1，4，-2，1，这个圈子，还有没有别的（指乘3加1除以负2这种规则的）。
用公式解的话，没有分母等于（8-9）这种便宜货了（是-8-9），指数m(n)为2的解是1还可以利用。编程好麻烦，求助，求助，求助！

laodiao8014

十七.  3x+1问题的一个子问题
1.  还是从方程组出发，把除以2变成除以4（即2^2）。
方程组变为：  ……
          3*x(-2)+1=4^m(-2)*x(-1)
          3*x(-1)+1=4^m(-1)*x(0)
          3*x(0)+1=4^m(0)*x(1)
3*x(1)+1=4^m(1)*x(2)
3*x(2)+1=4^m(2)*x(3)
3*x(3)+1=4^m(3)*x(4)
……
3*x(n-1)+1=4^m(n-1)*x(n)
3*x(n)+1=4^m(n)*x(1)
(规则变成把一个奇数乘3加1除以4，但这里要求结果是整数，而且只讨论正整数。)
2. 先看1，1 --->4 --->1,圈子还在。
再看113,113-->340--->85--->256--->64--->16--->4--->1。
故此处方程组整数解集非空，记为解集十七，第九段列的方程组的整数解集记为解集九，显然，解集九包含解集十七，解集十七里能找到的圈子解集九里也有。（这就是一个子问题，这里难度明显小多了）。
    3这个数显然不是解集十七里面的，按规则，3-->10,10无法用4除了，除成分数了。
3.  因为是除以4^m(n)，而m(n)大于等于1,所以序列中只看奇数是单调递减的，因而这里没有航班无限的解，故不用列航班无限的方程组了。
   比如上面例子中，113大于85,85大于1。
4.解集十七里有几个圈子？只有1，4，1这一个。
用公式解找整数解，圈子只一个数的只有1，4，1（指奇数），若还有别的圈子，就要圈子中奇数个数大于1了，圈子中（只看奇数）个数大于等于2个的，设圈子为x(1),x(2),……，x(n)，必有一个最小整数，不失一般性，记为x(1),x(1)大于1，则有方程3*x(1)+1=4^m(1)*x(2)，但从方程看，由于有4^m(1),又要求x(1)比x(2)大，矛盾。

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2008-3-26 10:32 编辑 ]

fwjmath

这些问题有趣是很有趣，但是也就是这么回事，无论是对于解决3x+1问题还是编程验证都没什么用处。

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-25 14:01 编辑 ]

fwjmath

这个实际上是和除以2^(1/2)是一样的，就是符号不同而已。你的奇偶性的看法也是可取的。
实际上可以随意定义多个整数的运算规则，不一定要限制在复数的模型中。
这个涉及的理论就很广了，我觉得连最简单的3x+1问题的解决都已经很困难了，更广泛的结果可能已经超出我们时代的范围了。
不过也不一定~~~看看吧~~~

laodiao8014

[ 本帖最后由 laodiao8014 于 2009-8-25 14:01 编辑 ]