NumberFields@home
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NumberFields@home是使用通过互联网连接的电脑一个数论方面的研究项目。
如何加入项目
该项目基于 BOINC 平台，简要的加入步骤如下（已完成的步骤可直接跳过）：
- 下载并安装 BOINC 的客户端软件（官方下载页面或程序下载）
- 点击客户端简易视图下的“Add Project”按钮，或高级视图下菜单中的“工具->加入项目”，将显示向导对话框
- 点击下一步后在项目列表中找到并单击选中 NumberFields@home 项目（如未显示该项目，则在编辑框中输入项目网址：http://numberfields.asu.edu/NumberFields/ ），然后点击下一步
- 输入您可用的电子邮件地址，并设置您在该项目的登录密码（并非您的电子邮件密码）
- 再次点击下一步，如项目服务器工作正常（并且有适合自身操作系统的计算程序），即已成功加入项目
更详细的加入方法说明，请访问 BOINC 新手指南 或 BOINC 使用教程。
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项目目的
域是一种重要的数学结构，它在数学的许多分支有着影响深远的应用。很多人对有理数域，实数域和复数域都颇为熟悉。在这个项目中，我们主要研究的是有理数域的有限扩张。更准确地说，是次数为十的域（或称十次数域）。扩张次数更低的域需要的计算资源更少，而我们已经有一张记录它们的表。十次数域是第一种需要高度并行计算的情况，而这正是这个BOINC项目存在的理由。
对数域分类的一种方法是按照其中的分歧素数来分类。对于一个给定的素数集合，以这些素数为分歧素数的数域只有有限个。本项目的主要目的就是找到不同分歧素数集合对应的数域。由于素数集合永无止尽，在可以预见的将来，本项目一直会有工作。
另一种分类的方法是根据它们的判别式分类。判别式是数域中非常重要的一个不变量。给定一个上界B，判别式小于这个上界的数域是有限的。本项目的次要目的就是确定判别式小于B=1.2*10^11的非本原十次数域的完整列表。我们选择这个上界是为了平衡能找到的数域个数与所需计算量。
项目应用
密码学
数域在数论的方方面面都有用途，其中包括在密码学中的直接应用。例如，在与RSA密码算法有关的大数分解算法中就用到了数域（指数域筛法，number field sieve）。
自守形式
自守形式理论在数学中是个重要的题目。它将模形式从单变量复函数推广到多变量的情况。自守形式与拥有某些特殊分歧性质的有限域扩张有着深刻的联系。比如说，Calegari在研究Q(i)上的自守形式时，希望能证明不存在某种特定的自守形式。这个问题可以转化为关于数域的问题，给出以下的猜想：
Calegari猜想：
- 不存在Q(i)的五次域扩张L，使得：
- L的伽罗华闭包与Q(i)的商的伽罗华群是交错群A_5
- L的分歧素数不包含2和5以外的素数
- L的判别式整除2^14*5^15
利用Q(i)的十次数域表，我们证明Calegari猜想是正确的。（备注：虽然项目仍然在搜索Q(i)上的十次数域，但Calegari猜想中对判别式的界足够小，之前的搜索足以确定它的正确性）
伽罗华理论
项目搜索到的数域可以进一步按照它们的伽罗华群分类。如果有足够大的数域列表，我们能对不同伽罗华群的分布进行猜想。对于列表中的每个数域，我们也可以计算它们的伽罗华根判别式（GRD），这对于研究低GRD数域的数学家很有用处。
理论物理学
本项目研究的数域与p进域有联系。在最近，p进分析被应用到理论物理的一些问题上，比如说量子力学与弦论。这里有一个对相关概念的介绍。现在要说我们的列表对于物理学家来说有什么用处，仍然为时尚早；我们仍然在探索未知的领域。
算法细节
域的有限扩张可以用多项式表示，它们可以表示为Q(a)，其中a是某个多项式的根。域的判别式能给出多项式系数的界，所以我们的搜索只需要处理有限个多项式。粗略地说，我们的算法遍历所有可能的多项式，检查它们是否表示了一个符合我们要求的数域。更进一步地说，我们的算法用了一些复杂的数学论证来减小搜索空间。另外，指定的分歧结构也会给出多项式系数的一些同余关系，这也可以减小搜索空间。对算法有兴趣的人可以查看博士论文。