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计算巧合(归一步数记录与步恰差记录比较)

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发表于 2021-7-8 11:05:44 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 laodiao8014 于 2021-7-8 11:08 编辑

       曾经在本站阅读过《关于3x+1问题》,其中有个归一步数记录,近些时候用一个叫“恰小维”的概念计算步恰差记录,两个记录非常相似,有点意思,特来和有兴趣的算友讨论一下!
具体内容如下:
      归一步数记录和步恰差记录比较
一、奇数的步数定义:
定义1、设有正奇数x(0), x(0)不等于1 ,由x(0)出发计算的3x+1问题正奇数叙列为 x(0),x(1) ,x(2) ,……,x(k),……,x(n-1),x(n) , (k,n为正整数 , 1 <= k <= n ) , 以x(n)为出发点,定义 x(0)、x(1) 、x(2) 、……、x(n-1)、x(n)的步数(用“bu(x(n))”表示 , bu(x(n)) = 1 , bu(x(n-1)) = 2 ,…… ,bu(x(k)) =  n-k+1 ,…… ,
bu(x(2)) = n-2+1 , bu(x(1)) = n-1+1  ,bu(x(0)) = n-0+1 ,
举例:设x(0) = 7 ,
则3x+1问题正奇数叙列为:7 ,11,17,13,5,1 ,
以1为出发点 , 有bu(1) = 1 , bu(5) = 2 ,bu(13 )= 3 , bu(17) = 4  , bu(11) = 5  , bu(7) = 6 ,
二、恰小维简单定义
   以7为例,用3x+1问题运算规则可得等式组(1)
     3*7+1 = 2^1*11
     3*11 +1 = 2^1*17
     等式组(1)右边的2的指数分别为“1,1”,用(1 , 1)表示,
     再列一个等式组(2)
     3*15 +1 = 2^1*23
     3*23 +1 = 2^1*35
等式组(2)右边的2的指数也是“1,1”,用(1 , 1)表示,
     再列一个等式组(3)
3*31 + 1 = 2^1*47
3*47 +1 = 2^1*71
等式组(3)右边的2的指数还是“1,1”,用(1 , 1)表示,
7、15、31所在等式组右边2的指数均为(1 , 1),因为指数有2个,称为2维指数,7在这几个正奇数中最小,且7是能列出这种右边2的指数为(1 , 1)等式组最小的正奇数,(1 , 1)是2维的,这是7的一种性质(称为恰小维),记7的恰小维为2,写为qxw(7) = 2 ,
一般情况,
在方程组 (4)
         3*x(1)+1 = 2^m(1)*x(2)
         3*x(2)+1 = 2^m(2)*x(3)
         3*x(3)+1 = 2^m(3)*x(4)
            ……
         3*x(n)+1 = 2^m(n)*x(n+1)
中,n 是自然数,x(1)、x(2)、……、x(n+1)均为正奇数,m(1),m(2),……,m(n)均为正整数。
右边2的指数为( m(1),m(2),……,m(n) ),是一个n维数组,
恰小维定义:在方程组(4)这种形式的前提下,若x(1)是能列出这种右边2的指数为( m(1),m(2),……,m(n) )方程组最小的正奇数,称x(1)的恰小维为n,记为qxw(x(1)) = n ,
“恰小维”详细定义请参考“财喜猫的博客”,网址是:http://blog.sina.com.cn/s/articlelist_1348843423_0_1.html
恰小维计算例子:
qxw(3)=1,qxw(1)=1 , qxw(5)=1 ,qxw(9) = 2,  qxw(11)=2 ,qxw(19)=2 , qxw(15)=3 , qxw(27)=3 ,qxw(55) = 3 , qxw(87) = 3 ,

三、步数、恰小维计算举例
定义了正奇数的步数、恰小维,可以计算一下,下面是一些计算结果,
奇数 7 :bu( 7 ) =  6   ,   qxw( 7 ) =  2
奇数 11 :  bu( 11 ) =  5 ,    qxw( 11 ) =  2  
奇数 17 :  bu( 17 ) = 4 ,  qxw( 17 ) =  2
奇数 13 :  bu( 13 ) =  3 ,   qxw( 13 ) =  1
奇数 5 : bu(5)= 2 ,qxw(5) = 1
奇数 21 :  bu( 21 ) =  2 ,  qxw( 21 ) =  1
奇数 85 :  bu( 85 ) =  2 ,  qxw( 85 ) =  1
奇数 3 :  bu( 3 ) = 3 ,   qxw( 3 ) = 1
奇数 13 :  bu( 13 ) = 3 ,   qxw( 13 ) = 1
奇数 53 :  bu( 53 ) = 3 ,  qxw( 53 ) = 1
奇数 113 :  bu( 113 ) =  3 ,    qxw( 113 ) =  2
奇数227 :bu( 227 ) =  3 ,   qxw( 227 ) =  2
奇数27 :bu( 27 ) = 42 ,  qxw( 27 ) =  3
……
四、步恰差
   定义2:正奇数x(n)的步数为bu(x(n)) ,恰小维为qxw(x(n)) , 则定义正奇数x(n)的步恰差为bqc(x(n)) = bu(x(n)) - qxw(x(n)) 。
例:bu( 1 ) = 1  , qxw( 1 ) = 1  , bqc(1) = 1-1= 0 ,
bu( 3 ) =  3  , qxw( 3 ) = 1  , bqc(3) =2
bu( 5 ) =  2  , qxw( 5 ) = 1 ,  bqc(5) = 1
bu( 7 ) =  6  , qxw( 7 ) = 2  , bqc(7)= 4
bu( 9 ) =  7  , qxw( 9 ) = 2 ,  bqc(9)= 5
bu( 11 ) = 5 ,  qxw( 11 ) = 2 ,  bqc(11) = 3
bu( 13 ) = 3  , qxw( 13 ) = 1 , bqc(13) = 2
bu( 15 ) = 6  , qxw( 15 ) = 3 ,  bqc(15) = 3
bu( 17 ) = 4  , qxw( 17 ) = 2  , bqc(17) = 2
bu( 19 ) = 7 , qxw( 19 ) = 2  , bqc(19)= 5
bu( 21 ) = 2 , qxw( 21 ) = 1   , bqc(21) = 1
bu( 23 ) = 5 , qxw( 23 ) = 3 ,  bqc(23) = 2
bu( 25 ) = 8  , qxw( 25 ) = 3 , bqc(25) = 5
bu( 27 ) = 42  , qxw( 27 ) = 3  , bqc(27)= 39
bu( 29 ) =  6  , qxw( 29 ) = 2 , bqc(29) = 4
……
五、步恰差记录
定义3: 设有正奇数序列:1 , 3 , …… , k , …… , r ,  ……
步恰差分别为bqc(1) ,bqc(3) ,…… ,bqc(k) , ……bqc(r) , ……
这里正奇数k < r ,对于一个正奇数r,如果任意k < r,均有bqc(k)  <= bqc(r) ,则称bqc(r)是一个步恰差记录,
观察第三段计算,
bqc(3) =2 , bqc(7)= 4 ,bqc(9)= 5 ,bqc(19)= 5 ,bqc(25) = 5 ,bqc(27)= 39 ,均是步恰差记录。
编程计算,从1开始,步恰差记录数为:
3 ,7 , 9 , 19 , 25 , 27 ,55, 73 ,97 ,129 , 171 , 235 , 313 , 327 , 655 , 703 , 871 , 1161 ,1665 , 2223 , 2323 , 2463 , 2919 ,3711 ,6171 , 10971 ,13255 , 17673 , 26623 , 34239 ,35497 , 35655 ,52527 , 77031 , 142587 , 156159 , 216367 ,230631 , 410011 , 511935 , 626331 , 837799 , 1117065 ,1126015 , 1501353 , 1564063 , 1723519 ,2298025 , 3064033 , 3542887 , 3732423 , 5649499 , 6649279 , 8400511 , 11200681 , 14934241 , 15733191 , 31466383 , 36791535 , 55187303 , 63728127 , 127456255 , 169941673 , 226588897 , 268549803,……
注:一共算出了65个步恰差记录 ,手头的计算机记算能力有限 ,算到268549803暂时算不动了,后面的省略号表示现在算不出来的。
这些数字我看着很是眼熟!好象和归一步数记录大致相同!

六、与归一步数记录的比较
曾经在本站浏览过《关于3x+1问题》网页,网址是:https://www.equn.com/3x+1/
其中有一段内容是 :
归一步数(Delay)
对于所有的正整数 N 令 k 为满足 Sk = 1 的最小下标.
我们称 k 为 N 的归一步数(Delay), 并记作 D(N).
归一步数记录(Delay Record)
一个正整数 N 被称为归一步数记录(Delay Record)
当且仅当对于所有正整数 M < N 均有 D(M) < D(N).
为了寻找归一步数记录, 人们已经进行了大量的计算.
所有已知的归一步数记录都在归一步数记录表中给出了.
好了,数据就在归一步数记录表中。
现在把归一步数记录表中的数字拿出来并和步恰差比较:
归一步数记录1# :2 ,步恰差没有偶数,但2+1 = 3是一个步恰差,
归一步数记录2#:3 ,3是一个步恰差记录,
归一步数记录3#:6 ,6+1=7是一个步恰差记录,
归一步数记录4#:7 ,7是一个步恰差记录,
归一步数记录5#:9 , 9是一个步恰差记录,
归一步数记录6#:18 ,18+1=19是一个步恰差记录,
归一步数记录7#:25 ,25是一个步恰差记录,
归一步数记录8#:27 , 27是一个步恰差记录,
归一步数记录9#:54 , 54+1=55是一个步恰差记录,
归一步数记录10#:73 , 73是一个步恰差记录,
归一步数记录11#:97 ,97是一个步恰差记录,
归一步数记录12#:129 ,129是一个步恰差记录,
归一步数记录13# :171 , 171是一个步恰差记录,
归一步数记录14#: 231 ,无对应步恰差记录,
235不是归一步数记录, 235是一个步恰差记录,
归一步数记录15#:313 ,313是一个步恰差记录,
归一步数记录16#: 327 ,327是一个步恰差记录,
归一步数记录17#:649 , 无对应步恰差记),
655不是归一步数记录, 655是一个步恰差记录,
归一步数记录18#:703 ,703是一个步恰差记录,
归一步数记录19#:871 , 871是一个步恰差记录,
归一步数记录20#:1161 , 1161是一个步恰差记录,
1665不是归一步数记录,1665是一个步恰差记录,
归一步数记录21#:2223 , 2223是一个步恰差记录,
2323不是归一步数记录, 2323是一个步恰差记录,
归一步数记录22#:2463 , 2463是一个步恰差记录,
归一步数记录23#:2919 ,2919是一个步恰差记录,
归一步数记录24#:3711 , 3711是一个步恰差记录,
归一步数记录25# :6171 , 6171是一个步恰差记录,
归一步数记录26#: 10971 ,10971是一个步恰差记录,
归一步数记录27#:13255 ,13255是一个步恰差记录,
归一步数记录28#: 17647 ,无对应步恰差记录,
17673不是归一步数记录, 17673是一个步恰差记录,
归一步数记录29#:23529, 无对应步恰差记录,
归一步数记录30#:26623 ,26623是一个步恰差记录,
归一步数记录31#:34239 ,34239是一个步恰差记录,
35497不是归一步数记录 ,35497是一个步恰差记录,
归一步数记录32#:35655 ,35655是一个步恰差记录,
归一步数记录33#:52527 ,52527是一个步恰差记录,
归一步数记录34#:77031 ,77031是一个步恰差记录,
归一步数记录35#:106239 ,无对应步恰差记录,
归一步数记录36#:142587 ,142587是一个步恰差记录,
归一步数记录37# :156159 ,156159是一个步恰差,
归一步数记录38#: 216367 ,216367是一个步恰差记录,
归一步数记录39#:230631 ,230631是一个步恰差记录,
归一步数记录40#: 410011 ,410011是一个步恰差记录,
归一步数记录41#:511935 , 511935是一个步恰差记录,
归一步数记录42#:626331 ,626331是一个步恰差记录,
归一步数记录43#:837799 ,837799是一个步恰差记录,
归一步数记录44#:1117065 ,1117065是一个步恰差记录,
1126015不是归一步数记录 ,1126015是一个步恰差记录,
归一步数记录45#:1501353 ,1501353是一个步恰差记录,
1564063不是归一步数记录 ,1564063是一个步恰差记录),
归一步数记录46#:1723519 ,1723519是一个步恰差记录,
归一步数记录47#:2298025 ,2298025也是一个步恰差记录,
归一步数记录48#:3064033 ,3064033是一个步恰差记录,
归一步数记录49# :3542887 ,3542887是一个步恰差记录),
归一步数记录50#: 3732423 ,3732423是一个步恰差记录,
归一步数记录51#:5649499 ,5649499是一个步恰差记录,
归一步数记录52#: 6649279 ,6649279也是一个步恰差记录,
归一步数记录53#:8400511 , 8400511是一个步恰差记录,
归一步数记录54#:11200681 ,11200681是一个步恰差记录,
归一步数记录55#:14934241 ,14934241是一个步恰差记录,
归一步数记录56#:15733191 ,15733191是一个步恰差记录,
归一步数记录57#:31466382 ,31466382+1 = 31466383是一个步恰差记录,
归一步数记录58#:36791535 ,36791535是一个步恰差记录,
5518703不是归一步数记录 ,55187303是一个步恰差记录,
归一步数记录59#:63728127 ,63728127是一个步恰差记录,
归一步数记录60#:127456254 ,127456254 + 1 = 127456255是一个步恰差记录,
归一步数记录61#:169941673 ,169941673是一个步恰差记录,
归一步数记录62#:226588897 ,226588897是一个步恰差记录,
归一步数记录63#:268549803 ,268549803是一个步恰差记录,
再往后数字太大,计算困难,算了!
总结:到63#归一步数记录数268549803为止,是归一步数记录同时又是步恰差记录的数占了绝大多数,有52个,如3、7、9等,另外归一步数记录中的偶数(2、6、18、54、31466382、127456254共6个)在加1后就是一个步恰差,只有231、649、17647、23529、106239这5个归一步数记录没有对应步恰差记录,虽然计算方法不相同,但计算结果的相似度还是蛮高的!
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